?orthogonal

orthogonal發(fā)音

英：[?:'θ?g?nl]　　美：[?:'θ?g?n?l]

英：　　美：

orthogonal中文意思翻譯

adj.直角的, 直交的

orthogonal詞形變化

副詞: orthogonally |

orthogonal常見(jiàn)例句

1 、Camber line won"ts do orthogonal arc tooth wimble gear.───中心線(xiàn)不成直角的弧齒錐齒輪。

2 、A fast modulation measurement profilometry based on orthogonal spatial carrier is proposed.───提出了一種基于正交方向空間載頻的快速調制度測量輪廓術(shù)。

3 、Optimization to the Seedling Growth of Dendrobium loddigesii Rolfe. in vitro by Orthogonal Design[J].───引用該論文 吳明開(kāi),朱國勝,毛堂芬,劉作易,金家興,毛秀華.

4 、An orthogonal design and cellular automata based acceleration parallel genetic algorithm (APGA) is presented.───為此,結合正交試驗設計和元胞自動(dòng)機模型,提出了一種改進(jìn)的加速并行遺傳算法(APGA)。

5 、They form a three-parametric, orthogonal net and may be chosen as coordinate lines of a special, curvilinear coordinate system.───它們形成三參數正交網(wǎng)，可以把它們選作特殊曲線(xiàn)坐標系的坐標線(xiàn)。

6 、Most applications involve simultaneous stabilization on three orthogonal axes.───大多數應用要求在三個(gè)相互垂直的軸上同時(shí)進(jìn)得穩定。

7 、The condition of microwave-assisted extraction mentha rotundifolia volatile oil was studied through orthogonal design.───利用正交實(shí)驗研究微波輔助萃取魚(yú)香草揮發(fā)油的工藝條件。

8 、Can be circular arc model, also can be orthogonal model, some rooms entrance still can design porch to close corridor.───可以是圓弧型的，也可以是直角型的，有的房型入口還可以設計成玄關(guān)關(guān)走廊。

9 、The Lorentz transformation of orthogonal bases is derived by means of matrix in Euclidean four dlimension space.───引入時(shí)間單位矢,構成四維歐氏空間,給出了在洛侖茲變換下任意正交曲線(xiàn)坐標基矢的矩陣表達式.

10 、In this paper a new design for orthogonal three channel ECG and PCG signal sampling system was introdued.───本文介紹了一種正交三導聯(lián)心電和心音信號采集系統。

11 、Method: The preparative technology of cimetidine tablets was optimalized by the method of Orthogonal experiment.───方法:用正交試驗法對西咪替丁片的生產(chǎn)工藝進(jìn)行優(yōu)化考察。

12 、The orthogonal design study on tumor-inhibition and cancer-block role of Chinese medicinal 1023 co.───1023合劑對實(shí)驗性口腔癌的抑瘤及阻癌的正交實(shí)驗研究。

13 、The problem for constructing wavelets from a M-band orthogonal interpolatory scaling function was considered.───摘要考慮由M-帶正交**值函數構造相應小波函數的矩陣擴充問(wèn)題。

14 、The formulae of Acyclovir disperse tablet were optimized in terms of disintegrating time by orthogonal design test.───以崩解時(shí)限為指標,采用正交設計試驗,對阿昔洛韋分散片處方進(jìn)行篩選。

15 、METHODS:The formulation of lansoprazole tablet was selected by screening with the method of orthogonal design.───方法：應用正交試驗設計進(jìn)行片心處方篩選。

16 、Based on orthogonal test,structural parameters of mixing mechanism for twin shaft mixer are researched.───利用正交試驗,對雙臥軸攪拌機攪拌裝置的結構參數進(jìn)行了研究。

17 、Can be circular arc model, also can be orthogonal model, some rooms entrance still can design porch corridor.───可以是圓弧型的，也可以是直角型的，有的房型入口還可以設計成玄關(guān)走廊。

18 、Construct an animation displaying all pairs of orthogonal tangents to a given parabola.───建構一動(dòng)態(tài)繪圖。展示給定的拋物線(xiàn)外所有成對的正交切線(xiàn)。

19 、Orthogonal experiments were used to determine influence of some factors in acid bating on qualities of leather.───對酸性蛋白酶的分子量進(jìn)行了測定，對比了酸性蛋白酶與胰酶中的膠原酶活力，以說(shuō)明酸性酶軟化與胰酶軟化對膠原性質(zhì)的影響。

20 、You will not be an artist until you have mastered the rules of linear perspective and orthogonal lines, the laws of drawing and precise contour.─── 你們是沒(méi)法成為藝術(shù)家的 除非你們掌握 直線(xiàn)透視法和正交線(xiàn)的規則 掌握描繪精細輪廓的規律

21 、It can always be arranged that degenerate eigenfunctions are orthogonal.───總可以做到使得簡(jiǎn)并的本征函數是正交的。

22 、The orthogonal signal correction (OSC) is a popular algorithm in the signal preprocess.───基于正交投影的正交信號校正(OSC)算法是近年來(lái)在光譜處理上很活躍的一種方法。

23 、Sealing side still should be round horn, cannot straight arris is orthogonal.───封邊還應是圓角，不能直棱直角。

24 、Methods The orthogonal experimental design method was used to optimize the formulation of the pellets of theophylline.───方法：采用多層包衣的方法，以體外釋藥時(shí)滯和釋藥速率為指標，經(jīng)正交試驗設計，篩選較佳的處方組成和工藝。

25 、The principal directions corresponding to two distinct principal strains are orthogonal.───和兩個(gè)不同的主脅變相對應的主方向是互相正交的。

26 、The profit signal and noise vectors are orthogonal to each other, so the variation vector is the hypotenuse in a right triangle.───有效信號適量和噪聲信號適量相互正交，所以變量矢量是直角三角形的斜邊。

27 、Construct rotating cardioid and deltoid while remaining orthogonal to each other.───作旋轉的心臟線(xiàn)和旋轉的三角線(xiàn)，且彼此維持正交。

28 、Methods Referring to the content of Paeoni- florin ,orthogonal design was applied.───方法以芍藥苷含量為指標，采用正交實(shí)驗法進(jìn)行工藝優(yōu)選。

29 、Orthogonal Experimental Design(OED) is an efficient method to the analysis of multi-factor problems.───摘要對于多因素問(wèn)題的實(shí)驗分析，正交試驗設計(OED)是一種高效率的方法。

30 、Construct rotating nephroid and three-cusped epicycloid while remaining orthogonal to each other.───作旋轉的腎臟線(xiàn)和旋轉的三瓣外擺線(xiàn)，且彼此維持正交。

31 、METHOD:Using astragaloside IV as the detection index to explore the extraction process by orthogonal design.───方法:采用正交設計優(yōu)選,以黃芪甲苷為檢測指標。

32 、The flash butt welding parameters of axisymmetric 45 steel were determined utilizing the orthogonal test.───摘要利用正交試驗法確定了45鋼的閃光對焊軸對稱(chēng)件焊接工藝。

33 、The milling test for stainless steel ramp is carried out with the multi-factors orthogonal test method.───摘要采用多因素正交試驗法進(jìn)行了不銹鋼傾斜面的球頭銑削試驗；

34 、Orthogonal optimum design of laser peen forming based on finite element simulation[J].───引用該論文 曹向廣,周建忠,袁國定,杜建鈞,倪敏雄.

35 、Method: The using rate of volatiles was used to evaluate the technologies based on orthogonal design.───方法:采用正交法設計實(shí)驗,以揮發(fā)油利用率為指標評價(jià)包合工藝。

36 、METHODS To optimize the extraction process of Folium Ginkgo and Rhizoma Chuanxiong by orthogonal test.───方法:對君藥銀杏葉、川芎的提取工藝用正交試驗進(jìn)行優(yōu)選。

37 、METHODS To optimize the extraction process of Folium Ginkgo and Rhizomo Chuanxiong by orthogonal test.───方法：對君藥銀杏葉、川芎的提取工藝用正交試驗進(jìn)行優(yōu)選。

38 、Methods The clarification process of Prunus americana juice was studied through single factor and orthogonal test.───方法 通過(guò)單因子試驗和正交試驗研究布朗李汁的澄清工藝。

39 、METHOD The orthogonal test were adopted.───方法采用正交試驗優(yōu)化水解條件。

40 、Construct two mutually orthogonal tangents of the deltoid. Where do they meet?───2三角星形線(xiàn)的兩條互相垂直的切線(xiàn)的交點(diǎn)在哪里?

41 、METHODS The optimal alcohol extration and water decoction extration process were selected with the orthogonal design.───方法分別以**陽(yáng)藿苷、水飽和正丁醇提取物為指標,以正交試驗法確定乙醇提取及水煎煮最優(yōu)條件;

42 、Orthogonal decomposition of seismic data is an important subject worth studying.───摘要地震記錄正交分解是值得研究的重要問(wèn)題。

43 、The conclusion is that the acceleration of IVC is orthogonal to velocity centrode.───指出瞬心加速度正交于瞬心線(xiàn)。

44 、Dynamorphic generators, conceptual geometer, beam synthesizer, orthogonal engine filters.─── 超形態(tài)生成器 概念幾何工具 射線(xiàn)混成器 正交引擎過(guò)濾器

45 、This paper covers the design and orthogonal test of silencer.───摘要本文探討了**器設計與正交試驗。

46 、The problems involved in the resolution of forces and displacements are not evident while we use orthogonal cartesian axes.───在采用迪卡兒直角坐標時(shí)，力和位移分解中的問(wèn)題是不明顯的。

47 、The multicomponent factors in groundwater influenced on concrete corrupt were reviewed through orthogonal test.───摘要通過(guò)混凝土腐蝕的正交試驗考察地下水中的多成分因素在混凝土腐蝕中的影響效應。

48 、Methods:The method of quadratic regressive orthogonal experiment was used.───方法:采用二次回歸的正交試驗法。

49 、The orthogonal test was used to optimize extraction process of Plumula Nelumbinis with the extraction rate of neferine.───方法以甲基蓮心堿轉移率為評價(jià)指標,采用正交實(shí)驗法對蓮子心的提取工藝進(jìn)行優(yōu)選。

50 、PLOB! (Persistent Lisp OBjects!) implements orthogonal persistency for LISP and CLOS objects.───為L(cháng)ISP和CLOS對象實(shí)現了正交持久性。

51 、Construct rotating cardioid and astroid while remaining orthogonal to each other.───作旋轉的心臟線(xiàn)和旋轉的星狀線(xiàn)，且彼此維持正交。

52 、C++ retains much of C, including a rich operator set ,nearly orthogonal design, terseness , and extensibility.───C++保留了C語(yǔ)言的大量特性，包括豐富的算符集，接近正交設計，簡(jiǎn)明扼要和具有可擴充性。

53 、The coupling impact of the two errors to the whole mechanism is studied with the method of orthogonal test and FEM.───將有限元法和正交試驗法相結合研究?jì)煞N誤差對整個(gè)機構耦合關(guān)系的影響；

54 、In this paper we propose a new approach called orthogonal signal reconstruction(OSR).───本文提出一種時(shí)域提取瞬時(shí)參數的方法-OSR,并與其它常用方法作了比較。

55 、Applying the orthogonal experiment design,the root induction culture of Prunus armeniaca was studied.───應用正交試驗設計擬定試驗方案,對大扁杏組培苗的生根培養進(jìn)行研究。

56 、This papar surveys an algorithm based on orthogonal transform.───本文提出利用正交變換的方法估計電網(wǎng)的復功率和相位差。

57 、Codes which are mutually orthogonal in time domain.───同一個(gè)組內的碼在時(shí)域上相互正交。

58 、Mango chosen as material, orthogonal experimental method is used to make fermented alcohol.───摘要以芒果為原料，采用正交試驗法優(yōu)選出的最佳芒果發(fā)酵條件。

59 、Through the analysis of orthogonal test,the most appropriate amount of medick sativa in bread were decided.───將苜蓿素添加在面包中,通過(guò)正交實(shí)驗分析,確定了其最佳用量。

60 、Abstract: In this paper, an orthogonal designing method was used for the optimal design of an exhaust muffler for vehicle.───文摘:利用正交設計方法對汽車(chē)的排氣**器進(jìn)行優(yōu)化設計，弄清了不同參數對**器性能的影響和變化規律。

61 、In many cases sample coordinates are recorded on an orthogonal grid coordinate system.───在多數情況下，樣品坐標記錄在正交網(wǎng)絡(luò )坐標系。

62 、The construction of the B-spline wavelet is simple, and it has better stability than the orthogonal wavelet.───摘要與正交小波相比，樣條小波構造簡(jiǎn)單，對信號的重構具有更好的穩定性。

63 、Walsh functions are orthogonal and complete.───1923年美國數學(xué)家沃爾什(WALSH)提出的沃爾什函數就是一種正交完備的函數系。

64 、The best technical conditions were determined to obtain higher substitution CMC by the orthogonal experiment.───以取代度為目標,用正交實(shí)驗方法確定了最佳工藝條件,制得較高取代度CMC。

65 、The mechanical properties of a skew girder bridge differ a great deal from those of an orthogonal girder bridge.───斜梁橋的力學(xué)特點(diǎn)與正交梁橋相比有很大區別。

66 、OBJECTIVE To optimally select the best extracting technology of flavonoids in Herba Sceptrdium by Orthogonal test.───方法采用正交實(shí)驗法考察乙醇濃度、乙醇用量、提取時(shí)間和提取次數對總黃酮提取的影響。

67 、In this paper, an orthogonal designing method was used for the optimal design of an exhaust muffler for vehicle.───利用正交設計方法對汽車(chē)的排氣**器進(jìn)行優(yōu)化設計，弄清了不同參數對**器性能的影響和變化規律。

68 、A method of constructing magic square and mutually orthogonal Latin square of order 4t is discovered firstly.───一種4t階幻方及正交拉丁方的構造方法被首次發(fā)現。

69 、Ferrite orthogonal core (FOC) controllable reactor (CR) is varied by its DC bias magnetic field.───傳統的正交鐵心可控電抗器通過(guò)控制在正交鐵心上的直流偏磁場(chǎng)間接控制交流磁場(chǎng)，調節交流等效電抗。

70 、The non-classical properties of orthogonal coherent state in parametric amplification process are investigated.───摘要研究正交相干態(tài)經(jīng)過(guò)參量放大后態(tài)的非經(jīng)典特性。

71 、Camber line becomes orthogonal arc tooth wimble gear.───中心線(xiàn)成直角的弧齒錐齒輪。

72 、Extraction technology of flavones in onionskin was studied by single factor and orthogonal experiment.───對洋蔥皮黃酮類(lèi)物質(zhì)的提取工藝進(jìn)行了研究。

73 、Construct an animation displaying a pair of orthogonal tangents of a fixed cardioid.───建構一動(dòng)態(tài)繪圖。展示給定的心臟線(xiàn)外一對的正交切線(xiàn)。

74 、Construct rotating cardioid and nephroid while remaining orthogonal to each other.───作旋轉的心臟線(xiàn)和旋轉的腎臟線(xiàn)，且彼此維持正交。

75 、Methods: ultrasonics extraction was used to extract.The optimum extraction process was confimed by the orthogonal test.───方法:采用超聲波提取、正交試驗優(yōu)化及高效液相色譜法測定所得翻白草中熊果酸的含量。

76 、DPSS are set of indexlimited orthogonal sequences, which have maximum spectral energy in the frequency range.───在眾多的正交序列中，DPSS在設定的頻率范圍內具有最大的頻譜能量。

77 、Construct a pair of rotating orthogonal cardioids.───作一對相互正交的旋轉心臟線(xiàn)。

78 、Besides a decision method for degree of orthogonal of k directions is proposed, and Brent method is improved as well.───提出了k個(gè)方向正交程度的判定方法. 并對Brent方法作了相應的改進(jìn).

79 、Methods: It was studied by orthogonal experimental design and oridonin in extraction was determined by HPLC.───方法：通過(guò)正交試驗，以HPLC法測定提取物中冬凌草甲素的含量為指標進(jìn)行研究。

80 、Application of Orthogonal Design in Selecting Culture Condition in Vitro of Rose multi flora f. Platyphylla Thory.───應用多因子正交試驗篩選野生七姊妹離體培養條件。

81 、A construction algorithm for orthogonal balanced symmetric multiscaling functions is obtained.An example is given.───建立構造正交對稱(chēng)平衡的多尺度函數的算法，并給出構造算例。

82 、If the compliances are not equal in the three orthogonal directions, it is anisoelastic.───如果在三個(gè)垂直方向的彈性變形率并不相等，即它是不等彈性的。

波函數正交性的數學(xué)表達式

我們現在討論一下本征波函數的正交性（orthogonal function），一般我們都是在幾何中才會(huì )用到的概念，即兩條直線(xiàn)相互垂直，著(zhù)兩條直線(xiàn)正交。那么什么是函數的正交性呢？

本征方程的正交性

首先我們定義什么是函數的正交性：兩個(gè)在非零函數的函數g(z),h(z)，如果他們的積分,那么這兩個(gè)函數正交。

我們現在可以證明，我們求得的一維無(wú)限深勢阱的本征函數們之間相互正交：本征函數的正交性和奇偶性。具有相反對稱(chēng)性的本征函數之間永遠正交，因為以MM'為分界線(xiàn)，左側的積分和右側的積分相互抵消了。

機器學(xué)習中的線(xiàn)性代數

機器學(xué)習中的線(xiàn)性代數

線(xiàn)性代數作為數學(xué)中的一個(gè)重要的分支，廣發(fā)應用在科學(xué)與工程中。掌握好線(xiàn)性代數對于理解和從事機器學(xué)習算法相關(guān)的工作是很有必要的，尤其是對于深度學(xué)習而言。因此，在開(kāi)始介紹深度學(xué)習之前，先集中探討一些必備的線(xiàn)性代數知識。

2.1 標量，向量，矩陣和張量

標量（scalar）：一個(gè)標量就是一個(gè)單獨的數。用斜體表示標量，如s∈R

.

向量（vector）：一個(gè)向量是一列數，我們用粗體的小寫(xiě)名稱(chēng)表示向量。比如x

將向量x

寫(xiě)成方括號包含的縱柱：

x=x1x2?xn

矩陣（matrix）：矩陣是二維數組，我們通常賦予矩陣粗體大寫(xiě)變量名稱(chēng)，比如A。如果一個(gè)矩陣高度是m，寬度是n，那么說(shuō)A∈Rm×n。一個(gè)矩陣可以表示如下：

A=[x11x21x12x22]

張量（tensor）：某些情況下，我們會(huì )討論不止維坐標的數組。如果一組數組中的元素分布在若干維坐標的規則網(wǎng)絡(luò )中，就將其稱(chēng)為張量。用A表示，如張量中坐標為(i,j,k)的元素記作Ai,j,k。

轉置（transpose）：矩陣的轉置是以對角線(xiàn)為軸的鏡像，這條從左上角到右下角的對角線(xiàn)稱(chēng)為主對角線(xiàn)（main diagonal）。將矩陣A

的轉置表示為A?

定義如下：

(A?)i,j=Aj,i

A=?x11x21x31x12x22x32A?=[x11x21x21x22x31x32]

2.2 矩陣和向量相乘

矩陣乘法是矩陣運算中最重要的操作之一。兩個(gè)矩陣A

和B的矩陣乘積(matrix product)是第三個(gè)矩陣C。矩陣乘法中A的列必須和B的行數相同。即如果矩陣A的形狀是m×n，矩陣B的形狀是n×p，那么矩陣C的形狀就是m×p

即

C=A×B

具體的地，其中的乘法操作定義為

Ci,j=∑kAi,kBk,j

矩陣乘積服從分配律

A(B+C)=AB+AC

矩陣乘積也服從結合律

A(BC)=(AB)C

注意：矩陣乘積沒(méi)有交換律

點(diǎn)積（dot product）兩個(gè)相同維數的向量x

和y的點(diǎn)積可看作是矩陣乘積x?y

矩陣乘積的轉置

(AB)?=B?A?

利用向量的乘積是標量，標量的轉置是自身的事實(shí)，我們可以證明（10）式：

x?y=(x?y)?=y?x

線(xiàn)性方程組

Ax=b

2.3 單位矩陣和逆矩陣

線(xiàn)性代數中提供了矩陣逆（matrix inverse）的工具，使得我們能夠解析地求解（11）中的A

.

單位矩陣（identity matrix）：任意向量與單位矩陣相乘都不會(huì )改變。我們將保持n

維向量不變地單位矩陣記作為In，形式上In∈Rn×n

x∈Rn,Inx=x

矩陣A的矩陣逆被記作A?1，被定義為如下形式：

A?1A=AA?1=In

（11）式方程組的求解：

Ax=bA?1Ax=A?1bInx=A?1bx=A?1b

方程組的解取決于能否找到一個(gè)逆矩陣A?1。接下來(lái)討論逆矩陣A?1的存在的條件。

2.4 線(xiàn)性相關(guān)和生成子空間

如果逆矩陣A?1

存在，那么（11）式肯定對于每一個(gè)向量b恰好存在一個(gè)解。分析方程有多少個(gè)解，我們可以看成是A

的列向量的線(xiàn)性組合（linear combination）。

Ax=∑ixiA:,i

形式上，某個(gè)集合中向量的線(xiàn)性組合，是指每個(gè)向量乘以對應系數之后的和，即

∑iciv(i)

一組向量的生成空間(span)是原始向量線(xiàn)性組合后所能抵達的點(diǎn)的集合。

線(xiàn)性無(wú)關(guān)（linearly independent）： 如果一組向量中的任意一個(gè)向量都不能表示成其他向量的線(xiàn)性組合，那么這組向量被稱(chēng)之為線(xiàn)性無(wú)關(guān)。

要想使矩陣可逆，首先必須矩陣是一個(gè)方陣（square），即m=n

其次，所有的列向量都是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的。

一個(gè)列向量線(xiàn)性相關(guān)的方陣被稱(chēng)為奇異的（singular）。

2.5 范數

有時(shí)候我們需要衡量一個(gè)向量的大小，在機器學(xué)習中，我們使用稱(chēng)為范數（norm）的函數來(lái)衡量矩陣大小，形式上，Lp

范數如下：

||x||p=(∑i|xi|p)12

其中p∈R,p≥1。

范數是將向量映射到非負值的函數。直觀(guān)上來(lái)說(shuō)，向量x

的范數就是衡量從原點(diǎn)到x

的舉例。更嚴格來(lái)說(shuō)，范數滿(mǎn)足下列性質(zhì)的函數：

f(x)=0?x=0

f(x+y)≤f(x)+f(y)

α∈R,f(αx)=|α|f(x)

當p=2

時(shí)，L2被稱(chēng)作歐幾里得范數（Euclidean norm）。它表示從原點(diǎn)出發(fā)到向量x確定的點(diǎn)的歐幾里得距離。平方L2范數常被用來(lái)衡量向量的大小，因為它便于求導計算（如對向量中每個(gè)元素的導數只取決于對應的元素，但是它也有缺陷，即它在原點(diǎn)附近增長(cháng)得十分緩慢），可以簡(jiǎn)單用點(diǎn)積x?x

來(lái)計算。

max 范數（max norm）：這個(gè)范數表示向量中具有最大幅度得元素的絕對值，用L∞

范數表示，期形式為：

||x||∞=∑(i,j)A2i,j√

兩個(gè)向量的點(diǎn)積(dot product)也可以用范數來(lái)表示。具體地，

x?y=||x||2||y||2cosθ

2.6 特殊類(lèi)型的矩陣和向量

對角矩陣(diagonal matrix)只在主對角線(xiàn)上含有非零元素，其它位置都是零。矩陣D

是對角矩陣，當且僅當?i≠j,Di,j=0，用diag(v)表示一個(gè)對角元素由向量v

中元素給定的對角矩陣。

對稱(chēng)(symmetric) 矩陣是任意轉置和自己相等的矩陣：

A=A?

即在矩陣A中，有Ai,j=Aj,i。

單位向量（unit vector）是具有單位范數（unit norm）的向量：

||x||2=1

如果x?y=0，那么向量x和向量y互相正交（orthogonal）。如果兩個(gè)向量都有非零范數，那么表示這兩個(gè)向量之間的夾角是90 度。在Rn中，至多有n個(gè)范數非零向量互相正交。如果這些向量不僅互相正交，并且范數都為1，那么我們稱(chēng)它們是標準正交（orthonormal）。

正交矩陣（orthonormal matrix）是指行向量是標準正交的，列向量是標準正交的方陣：

A?A=AA?=I

這意味著(zhù)

A?1=A?

所以正交矩陣受到關(guān)注是因為求逆計算代價(jià)小。需要注意正交矩陣的定義。反直覺(jué)地，正交矩陣的行向量不僅是正交的，還是標準正交的。對于行向量或列向量互相正交但不是標準正交的矩陣沒(méi)有對應的專(zhuān)有術(shù)語(yǔ)。

2.7 特征分解

許多數學(xué)對象可以通過(guò)將它們分解成多個(gè)組成部分，或者找到它們的一些屬性而被更好地理解，這些屬性是通用的，而不是由我們選擇表示它們的方式引起的。就像我們可以通過(guò)分解質(zhì)因數來(lái)發(fā)現一些關(guān)于整數的真實(shí)性質(zhì)，我們也可以通過(guò)分解矩陣來(lái)獲取一些矩陣表示成數組元素時(shí)不明顯的函數性質(zhì)。

特征分解(eigendecomposition)是使用最廣的矩陣分解之一，即我們將矩陣分解成一組特征向量和特征值。

方陣A

的特征向量（eigenvector）是指與A相乘后相當于對該向量進(jìn)行縮放的非零向量v

Av=λv

標量λ被稱(chēng)為這個(gè)特征向量對應的特征值（eigenvalue）。

如果v

是A的特征向量，那么任何放縮后的向量sv(s∈R,s≠0)也是A

的特征向量并且其與bf v 有相同的特征值。所以我們通常只考慮單位特征向量。

假設矩陣A

有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量{v(1),v(2),...,v(n)}，對應著(zhù)的特征值{λ1,λ2,...,λn}

我們將特征向量連成一個(gè)矩陣，使得每一列是一個(gè)特征向量：

V=[v(1),v(2),...,v(n)]

類(lèi)似地，特征值連成一個(gè)向量：

λ=[λ1,λ2,...,λn]?

因此bf A 的特征分解（eigendecomposition）可以記作：

A=Vdiag(λ)V?1

上面我們構建具體特定的特征值和特征向量，能夠使我們在目標方向上延伸空間。我們也常常希望將矩陣分解(decompose)成特征值和特征向量。這樣可以幫助我們分析矩陣的特定性質(zhì)，就像質(zhì)因數分解有助于我們理解整數。

不是每一個(gè)矩陣都可以分解成特征值和特征向量，在某些情況下，特征分解會(huì )涉及到復數，而非實(shí)數。在本書(shū)的機器學(xué)習學(xué)習中，我們只討論一類(lèi)簡(jiǎn)單分解的矩陣。具體就是，每個(gè)實(shí)對稱(chēng)矩陣都可以分解為實(shí)特征向量和實(shí)特征值：

A=QΛQ?

其中Q是A的特征向量組成的正交矩陣，Λ是對角矩陣。特征值Λi,i對應的特征向量是矩陣Q的第i列，記作Q:,i。因為Q是正交矩陣，所以可以將A看作是沿方向v(i)延展λi倍的空間。如下圖所示：

2.8 跡運算

跡運算返回的是矩陣對角元素的和：

Tr(A)=∑iAi,i

跡運算因為很多原因而受到關(guān)注。若不使用求和符號，有些矩陣運算很難描述，而通過(guò)矩陣乘法和跡運算符號，可以進(jìn)行清楚地表示。例如，跡運算提供了另一種描述矩陣Frobenius 范數的方式:

||A||F=Tr(AA?)√

用跡運算表示式，使我們可以用很多有用的性質(zhì)來(lái)操縱表示式。例如跡運算在轉置下是不變的：

Tr(A)=Tr(A?)

多個(gè)矩陣乘積的跡還滿(mǎn)足鏈式規律，即：

Tr(ABC)=Tr(BCA)=Tr(CAB)

標量的跡是它本身：a=Tr(a)。

2.9 行列式

行列式，記作det(A)

是一個(gè)將方陣A

映射到實(shí)數的函數。行列式等于矩陣特征值的乘積。行列式的絕對值可以被認為是衡量矩陣相乘后空間擴大或者縮小了多少。如果行列式是0, 那么空間至少沿著(zhù)某一維完全收縮了，使其失去了所有的體積。如果行列式是1, 那么矩陣相乘沒(méi)有改變空間體積。

總結

以上是在機器學(xué)習過(guò)程中必須了解和掌握的有關(guān)線(xiàn)性代數的知識