ahh縮寫(xiě)是什么意思

AHH英文含義

1、AHH的英文全稱(chēng)：Animal Health Healing | 中文意思：───動(dòng)物健康療愈

2、AHH的英文全稱(chēng)：Ace Hardware Hobbies | 中文意思：───王牌硬件愛(ài)好

3、AHH的英文全稱(chēng)：Aryl hydrocarbon hydroxylase activity | 中文意思：───芳基烴羥化酶活性

4、AHH的英文全稱(chēng)：ofaryl hydrocarbon hydroxylase | 中文意思：───芳基烴羥化酶

5、AHH的英文全稱(chēng)：Adult Home Help | 中文意思：───成人家庭幫手

6、AHH的英文全稱(chēng)：Aktiv Holding Homepage | 中文意思：───Aktiv Holding主頁(yè)

7、AHH的英文全稱(chēng)：aryl hydrocarbon hydroxylases | 中文意思：───芳基烴羥化酶

8、AHH的英文全稱(chēng)：acute hypobaric hypoxia | 中文意思：───急性低壓缺氧

9、AHH的英文全稱(chēng)：Academic Happy Hour | 中文意思：───學(xué)術(shù)快樂(lè )時(shí)光

10、AHH的英文全稱(chēng)：alpha-hydrazine(analogue of)histidine | 中文意思：───α-肼（組氨酸的類(lèi)似物）

11、AHH的英文全稱(chēng)：Aus Heiterem Himmel | 中文意思：───奧斯·海泰勒姆·希梅爾

12、AHH的英文全稱(chēng)：and hypogonadotropic hypogonadism | 中文意思：───和促性腺激素性減退

13、AHH的英文全稱(chēng)：Association of Holistic Hypnotherapists | 中文意思：───整體催眠治療師協(xié)會(huì )

14、AHH的英文全稱(chēng)：rapid--aryl hydrocarbon hydroxylase | 中文意思：───快速--芳基烴羥化酶

15、AHH的英文全稱(chēng)：aryl hydrocarbon hydroxylase | 中文意思：───芳基烴羥化酶

16、AHH的英文全稱(chēng)：aryl hydrocarbon hydroxylate | 中文意思：───芳基烴羥基酯

17、AHH的英文全稱(chēng)：aromatic hydrocarbon hydroxylase | 中文意思：───芳香烴羥化酶

18、AHH的英文全稱(chēng)：Alternative Health and Healing | 中文意思：───替代健康和治療

19、AHH的英文全稱(chēng)：Aromatic Hydrocarbon Hydroxylase | 中文意思：───芳香烴羥化酶

20、AHH的英文全稱(chēng)：Aromatic hydrocarbons hydroxylase | 中文意思：───芳香烴羥化酶

21、AHH的英文全稱(chēng)：aryl hydrocarbon hydrolase | 中文意思：───芳基烴水解酶

22、AHH的英文全稱(chēng)：Agency Helping Hand | 中文意思：───機構援助之手

23、AHH的英文全稱(chēng)：Antique Hardware and Home | 中文意思：───古董五金與家居

24、AHH的英文全稱(chēng)：Alchemy Herbal Health | 中文意思：───煉金術(shù)草藥保健

25、AHH的英文全稱(chēng)：Always Hate Hippies | 中文意思：───總是討厭嬉皮士

26、AHH的英文全稱(chēng)：Access to Housing for Health | 中文意思：───獲得保健住房

27、AHH的英文全稱(chēng)：Alliance for Hispanic Health | 中文意思：───西班牙裔健康聯(lián)盟

28、AHH的英文全稱(chēng)：Animal Health and Happiness | 中文意思：───動(dòng)物健康與幸福

29、AHH的英文全稱(chēng)：Arundel House Hotel | 中文意思：───阿倫德?tīng)柡浪咕频?/p>

30、AHH的英文全稱(chēng)：Association for Holistic Health | 中文意思：───整體健康協(xié)會(huì )

31、AHH的英文全稱(chēng)：aryl hydrocarbon (BP)hydroxylase | 中文意思：───芳烴羥化酶

32、AHH的英文全稱(chēng)：Ardilaun House Hotel | 中文意思：───阿迪勞豪斯酒店

33、AHH的英文全稱(chēng)：aryl hydrocarbon hydroxylation | 中文意思：───芳基烴羥基化

34、AHH的英文全稱(chēng)：All Hallows Havoc | 中文意思：───萬(wàn)圣節大破壞

35、AHH的英文全稱(chēng)：al hakim hanafiah | 中文意思：───哈基姆·哈納菲亞

36、AHH的英文全稱(chēng)：America Held Hostage | 中文意思：───美國挾持人質(zhì)

37、AHH的英文全稱(chēng)：Afrikan Heritage House | 中文意思：───非洲文化遺產(chǎn)之家

38、AHH的英文全稱(chēng)：arylhydrocarbon hydroxylase | 中文意思：───芳基氫碳羥化酶

39、AHH的英文全稱(chēng)：As Aryl Hydrocarbon Hydroxylase | 中文意思：───作為芳基烴羥化酶

40、AHH的英文全稱(chēng)：Acquired Hypogonadotropic Hypogonadism | 中文意思：───獲得性促性腺激素低下

41、AHH的英文全稱(chēng)：Ancient History and History | 中文意思：───古代史與歷史學(xué)

42、AHH的英文全稱(chēng)：Alexander Hamilton High (Milwaukee, WI) | 中文意思：───亞歷山大·漢密爾頓高中（密爾沃基，威斯康星州）

43、AHH的英文全稱(chēng)：aryl hydrocarbon hydroxylase assay | 中文意思：───芳基烴羥化酶測定

44、AHH的英文全稱(chēng)：Affordable Housing Hotline | 中文意思：───經(jīng)濟適用房熱線(xiàn)

如何理解理想和理想生成與中國剩余定理？

先簡(jiǎn)單復習一下群和環(huán)的基本概念：

群：

非空集合 G，其實(shí)的 二元運算 ° : G × G → G 如果滿(mǎn)足：

結合律：對于任意 a, b, c ∈ G，都有 (a ° b) ° c = a ° (b ° c)；

則 稱(chēng) (G, °) 為 半群。如果再滿(mǎn)足：

有幺元：存在 e ∈ G，使得 對于任何 a ∈ G ，都有 a ° e = e ° a = a；

則 稱(chēng) (G, °) 為 幺半群，e 稱(chēng)為 幺元。如果再滿(mǎn)足：

可逆性：對于任何 a ∈ G，都存在 b ∈ G，使得 a ° b = b ° a = e；

則 稱(chēng) (G, °) 為 群，b 稱(chēng)為 a 的 逆元，記為 a?1。如果再滿(mǎn)足：

交換律：對于任何 a, b ∈ G，都有 a ° b = b ° a；

則 稱(chēng) (G, °) 為 Abel 群（也稱(chēng) 交換群）。

注：當群的運算 ° 被當做乘法看待時(shí)，按照代數的習慣，可以省略不寫(xiě)。

環(huán)：

非空集合 R 上的 分別被稱(chēng)為 加法 和 乘法 的 二元運算 +, · : R × R → R，如果滿(mǎn)足：

(R, +) 構成 Abel 群；

(R, ·) 構成 半群；

乘法對加法的分配律：對于任意 a, b, c ∈ R，都有 a(b + c) = ab + ac，(b + c)a = ba + ca；

則 稱(chēng) (R, +, ·) 為 環(huán)，為了區分，我們改稱(chēng) (R, +) 中的 幺元為 零元，記為 0，a 的 逆元為 負元，記為 -a。

如果 環(huán) (R, +, ·) 滿(mǎn)足：

(R, ·) 構成 幺半群；

則稱(chēng) (R, +, ·) 是 幺環(huán)，并將 (R, ·) 的幺元，記為 1。說(shuō) 幺環(huán)中 某元素 可逆，是對 乘法 而言。

如果 環(huán) (R, +, ·) 滿(mǎn)足：

乘法交換律：對于任何 a, b ∈ R，都有 ab = ba；

則稱(chēng) (R, +, ·) 是 交換環(huán)。

只含有一個(gè)元素（必然是 0 ）的環(huán)稱(chēng)為 零環(huán)。零環(huán)是幺環(huán)。

環(huán) (R, +, ·) 中，對于 元素 a ∈ R 若 存在 非零 b ∈ R {0}，使得 ab = 0 或 ba = 0，則稱(chēng) a 是一個(gè) 左或右 零因子。零元 是 零因子，所有 零因子 不可逆。

稱(chēng) 0 是唯一的 零因子 的 非零交換幺環(huán) 為 整環(huán)；稱(chēng) 非零因子均可逆的 非零幺環(huán) 為 體；稱(chēng) 非零因子均可逆的 非零交換幺環(huán) 為 域。

理解理想

這需要從正規子群說(shuō)起。

可以將 群 的 元素之間運算 升級到 群子集 之間， 對于 群 G 的子集 K，L 定義運算：

KL = {kl | ? k ∈ K, ? l ∈ L}

特別地， 當 K 或 L 是 但元素集合 {a} 時(shí)，分別將 {a}L 和 K{a} 簡(jiǎn)寫(xiě)為 aL 和 Ka。

群 G 的非空子集 H ? G，如果 在 G 的運算下 構成 群，則稱(chēng) H 為 G 的 子群。

給定 群 G 的 子群 H，可以定義 G 中任意元素 a，b 之間的關(guān)系：

a ～? b 當且僅當 存在 h ∈ H，使得 ah = b

這個(gè)關(guān)系滿(mǎn)足：

自反性，因為：e ∈ H, ae = a ? a ～? a；

對稱(chēng)性，因為： a ～? b ? ? h ∈ H, ah = b ? ? h?1 ∈ H, bh?1 = ahh?1 = a ? b ～? a；

傳遞性，因為：a ～? b ∧ b ～? c ? ? h, g ∈ H, ah = b ∧ bg = c ? ? hg ∈ H, a(hg) = bg = c ? a ～? c；

因此，a ～? b 是等價(jià)關(guān)系。而容易知道 a ∈ G 的等價(jià)類(lèi)為 aH 被稱(chēng)為 a 的 左陪集，所有等價(jià)類(lèi)的集合 稱(chēng)為 G 的 商集 ，記為 G/～?。

類(lèi)似的 還可以定義：

a ～? b 當且僅當 存在 h ∈ H，使得 ha = b

同理 a ～? b 也是等價(jià)關(guān)系， a ∈ G 的等價(jià)類(lèi)為 Ha 被稱(chēng)為 a 的右陪集，對應的商集為 G/～?。

現在考慮，依 G 的 子群 H 定義的 等價(jià)關(guān)系 ～? （～?） 所產(chǎn)生的 G 的商集 G/～?（G/～?） 在集合運算 下是否構成 一個(gè)群？

這要保證：

G/～? 中 任意 兩個(gè)左陪集 之 集合運算結果 仍然是 左陪集 ①

如果 ① 成立，則 對于任意左陪集 aH 和 bH ，存在 c ∈ G 使得，對于任意 ah? ∈ aH和 bh? ∈ bH 都有：

ah?bh? = ch? ∈ cH ②

當 h? = h? = e 時(shí)，② 中等式變?yōu)椋?/p>

ab = ch?

故 c ～? ab，因此 可以 令 c = ab，于是 ② 中等式變?yōu)椋?/p>

ah?bh? = ab

等式兩邊 左乘 h??1a?1，有：

h??1a?1ah?bh? = h??1a?1ab

h??1eh?bh? = h??1eb

h??1h?bh? = h??1b

ebh? = h??1b

bh? = h??1b ∈ Hb

由于 h? 在 H 中的任意性，所以上式相當于：

bH ? Hb

于是得到結論，

如果 ① 成立，則有：

G 中 任意元素的左陪集 屬于 右陪集 ③

同理，可以證明：

如果：

G/～? 中 任意 兩個(gè)右陪集 之 集合運算結果 仍然是 右陪集

則有：

G 中 任意元素的右陪集 屬于 左陪集

綜上，得出，

如果：

G/～? 和 G/～? 在集合運算 構成 群 ④

則有：

G 中 任意元素的右陪集 等于 左陪集 ⑤

反過(guò)來(lái)，如果 ⑤ 成立。

對于 G 中 任意元素 b 的左陪集 的 任意 bh? ∈ Hb，有：

bh? = h?b ∈ Hb

對于任意 a ∈ G 的左陪集 aH 中的任意元素 ah? ∈ aH，令，

h? = h?h?

顯然 h? ∈ H，根據 ⑤ 必然存在：

h?b = bh? ∈ bH

于是，對于 aH 和 bH 中任意兩個(gè)元素的乘積，有：

(ah?)(bh?) = ah?h?b = ah?b = abh? ∈ (ab)H

這樣就證明了 ① ，確保 G/～? 在集合運算 構成 群。

而 當 ⑤ 成立 時(shí)，顯然：

G/～? = G/～?

故，④ 成立。

這就說(shuō)明： ④ 的 充要條件 是 ⑤。

于是，我們得出最終結論：

如果 G 的 H 子群滿(mǎn)足，

對于任意 a ∈ G 有 aH = Ha；

則 G/～? = G/～? 在集合運算下 構成 群，成為 商群，并記為 G/H，同時(shí)稱(chēng) H 為 G 的 正規子群。

Abel 群的 子群一定是 正規子群。

然后，引入理想的概念。

和子群類(lèi)似，如果 R 的非空子集 I，在 R 的 加法和乘法下構成一個(gè)環(huán)，則成 I 是 R 的子環(huán)。

I 是 R 的子環(huán)，蘊涵了 I 是 R 的 加法子群，由于 它們是 Abel 群，所以 I 是 R 的 加法正規子群，進(jìn)而 R/I 在 陪集加運算（任意 a, b ∈ R）：

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I

下構成商群，而且是 Abel 群。

如果，再給 R/I 賦予 陪集積運算：

(a + I)(b + I) = ab + I ⑥

則，陪集積運算，滿(mǎn)足：

結合律： ((a + I)(b + I))(c + I) = (ab + I)(c + I) = (ab)c + I = a(bc) + I = (a + I)(bc + I) = (a + I)((b + I)(c + I))

分配率：(a + I)((b + I) + (c + I)) = (a + I)((b + c) + I) = a(b + c) + I = (ab + ac) + I = (ab + I) + (ac + I) = (a + I)(b + I) + (a + I)(c + I)

于是 R/I 就變成一個(gè)環(huán)，稱(chēng)為 商環(huán)。

如果 ⑥ 成立，則 對于 任意 a + i? ∈ a + I 和 b + i? ∈ b + I 有：

(a + i?)(b + i?) ∈ ab + I

展開(kāi)左邊得到：

ab + i?b + ai? + i?i? ∈ ab + I

于是：

i?b + ai? + i?i? ∈ I

當 i?, i? = 0 時(shí)，得到：

ai?, i?b ∈ I

基于 i?，i? 的任意性，可推導出：

Ib，aI ? I

而基于 a, b 的任意性，可得出：

如果 ⑥ 成立，則：

對于任意 a ∈ R，有 aI ? I 并且 la ? I ⑦

反過(guò)來(lái)，如果 ⑦ 成立。

對于任意 a + i? ∈ a + I， b + i? ∈ b + I，有：

(a + i?)(b + i?) = ab + i?b + ai? + i?i?

條件 ⑦ 使得 i?b, ai? ∈ I，而本來(lái) i?i? ∈ I，于是 i?b + ai? + i?i? ∈ I，進(jìn)而：

(a + i?)(b + i?) ∈ ab + I

于是 ⑥ 成立。

綜上說(shuō)明：⑥ 的 充要條件 是 ⑦，我們稱(chēng)滿(mǎn)足條件 ⑦ 的 子環(huán) I 為 理想。

正規子群保證了 群的 商集 是 群，理想保證了 環(huán)的 商群 是 環(huán)。

理解理想生成

環(huán) R 中 的子集 M，包含 M 的最小理想 稱(chēng)為 有 M 生成的 理想，記為 (M)。

特別地當 M = {a} 時(shí)，將 ({a}) 簡(jiǎn)寫(xiě)為 (a)，并稱(chēng)由一個(gè)元素生成的理想，為 主理想。如果 一個(gè)環(huán)中的 所有理想都是 主理想，則稱(chēng) 該環(huán) 為 主理想環(huán)。

考慮 M 的 生成理想：

首先，對于 任意 m ∈ M 一定有 m ∈ (M)。

然后，因為 (M) 是理想，于是對于任意 s，r ∈ R，有 sm，mr ∈ (M)，進(jìn)而 smr ∈ (M)。

又，因為 (M) 自相加封閉，所以：

任意 n 個(gè) m 相加，記為 nm = m + ... + m ∈ (M)，有 nm ∈ (M)；

因為 nmr = mr + ... + mr = m(r + ... + r) = mnr，而 nr ∈ R，又基于 r 的任意性，于是 mr 已經(jīng)包括了 nmr 的情況。其它 sm 和 smr 類(lèi)似，也包括了 nsm 和 nsmr 的情況；

再，因為 (M) 對加法封閉，所以：

nm + sm + mr + smr ∈ (M)

最后，考慮到上式中各元素之間的任意性，于是我們得到：

(M) = { ∑_{有限} n_im_i + s_jm_j + m_kr_k + s_lm_lr_l |n_i ∈ Z _{≥0} ; m_i, m_j, m_k, m_l ∈ M; s_j, r_k, s_l, r_l ∈ R }

如果 R 是幺環(huán)，則：

sm 令 s = n1 有 sm = n1m = nm，這說(shuō)明 nm 已經(jīng)被 sm 包括；

smr 分別令 s = 1 或 r = 1，有：smr = 1mr = mr 或 smr = sm1 = sm，所以 sm 后 mr 被 smr 包括 ；

綜上，我們得到：

(M) = { ∑_{有限} s_im_ir_i |m_i ∈ M; s_i, r_i ∈ R }

顯然 對于幺環(huán) R 來(lái)說(shuō) (1) = R。

如果 R 是交換環(huán)，則：

smr = srm 其后 sr ∈ R ，又基于 s 的任意性，于是 sm 已經(jīng)包括了 smr 的情況；

mr = rm 這和 sm 等同；

綜上，我們得到：

(M) = { ∑_{有限} n_im_i + s_jm_j | n_i ∈ Z _{≥0} ; m_i, m_j ∈ M; s_j ∈ R }

如果 R 是交換幺環(huán)，則有：

(M) = { ∑_{有限} s_im_i |m_i ∈ M; s_i ∈ R } ⑧

理解中國剩余定理

回顧一下 理想的 運算。

考慮，環(huán) R 的理想 I, J 的交 I ∩ J。對于 任意 a，b ∈ I ∩ J，因為 I，J 是理想，所以 a + b, ab ∈ I，a + b, ab ∈ J 故 a + b, ab ∈ I ∩ J，即， I ∩ J 對加法和乘法封閉，因此 I ∩ J 是 R 的 子環(huán)。又 任何 元素 a ∈ I ∩ J，對于 任意 r ∈ R，因為 I，J 是理想，所以 ra ∈ I，ra ∈ J，故 ra ∈ I ∩ J， 同理 有 ar ∈ I ∩ J，這就說(shuō)明 I ∩ J 是 R 的 理想。

考慮，環(huán) R 的理想 I, J 的和 I + J。對于 任意 a? + b?, a? + b? ∈ I + J，其中 a?, a? ∈ I， b?, b? ∈ J ⑨，有：

(a? + b?) + (a? + b?) = (a? + a?) + (b? + b?)，因為 ⑨ 所以 a? + a? ∈ I，b? + b? ∈ J 進(jìn)而 (a? + a?) + (b? + b?) ∈ I + J ，即，(a? + b?) + (a? + b?) ∈ I + J；

(a? + b?) (a? + b?) = (a?a? + b?a?) + (a?b? + b?b?)，因為 ⑨ 所以 a?a? ∈ I， b?b? ∈ J ，又由于 I, J 是理想，所以 b?a? ∈ I, a?b? ∈ J ，于是 a?a? + b?a? ∈ I, a?b? + b?b? ∈ J，所以 (a?a? + b?a?) + (a?b? + b?b?) ∈ I + J，即 (a? + b?) (a? + b?) ∈ I + J；

這就是說(shuō)明 I + J 對加法和乘法封閉，因此 I + J 是 R 的 子環(huán)。又 任意元素 a + b ∈ I + J，對于 任意 r ∈ R，因為 I，J 是理想，所以 ra ∈ I，rb ∈ J，故 r(a + b) = ra + rb ∈ I + J， 同理 有 (a + b)r ∈ I + J， 這就說(shuō)明 I + J 是 R 的 理想。

考慮，環(huán) R 的理想 I, J 的（集合）積 I·J。 我們無(wú)法保證 I·J 對于 加和乘法封閉，進(jìn)而 我們不能保證 I·J 是理想，于是我們重新定義，環(huán) R 的理想 I, J 的積 IJ 為 它們作為 集合之積 I·J 的 生成理想，即 IJ = (I·J)。

對于每個(gè) a ∈ I ∩ J，a = a + 0 ∈ I + J，故 I ∩ J ? I + J。

對于 任意 ab ∈ I·J，其中 a ∈ I， b ∈ J，但是 I, J 是理想，所以 ab ∈ I， ab ∈ J 進(jìn)而 I·J ? I ∩ J 。再根據 生成理想 的最小性，得出：IJ = ( I·J) ? I ∩ J。

理想的積對于理想的和滿(mǎn)**換律：K(I + J) = KI + KJ，(I + J)K = IK + JK。

對于 幺環(huán) R 中的 理想 I，如果 1 ∈ I，則 對于任意 r ∈ R，有 r1 = r ∈ I，故 R ? I，進(jìn)而 I = R。⑴

設 R 是 幺環(huán)，對于 R 的 理想 I, J，如果：

I + J = R

則 稱(chēng) I 和 J 互素。

如果 存在 a ∈ I，b ∈ J，使得 a + b = 1，則 1 ∈ I + J，根據結論 ⑴ ，有 I + J = R。反過(guò)來(lái) 若 I + J = R，則 1 ∈ I + J 于是必然存在 a ∈ I，b ∈ J，使得 a + b = 1。故 ，I 和 J 的充要條件是 存在 a ∈ I，b ∈ J，使得 a + b = 1。⑵

如果 J 與 I?, I? 都 互素，根據 ⑵ 必然存在 a?, a? ∈ J, b? ∈ I?, b? ∈ I? 使得 a? + b? = 1, a? + b? = 1，于是 (a? + b?)(a? + b?) = (a?a? + a?b? + b?a?) + (b?b?) = 1，其中 a?a? + a?b? + b?a? ∈ J，b?b? ∈ I?I?，根據 ⑵ 得出 J 和 I?I? 互素，即， J + I?I? = R，又由于 I?I? ? I? ∩ I? ? I? + I?，所以 J 和 I? ∩ I? 或 I? + I? 也互素。⑶

對于 環(huán) R 中的 理想 I, J 組成的 笛卡爾積：

I × J = {(a, b) | a ∈ I，b ∈ J }

上定義：

加法 (a?, b?) + (a?, b?) = (a? + a?, b? + b?)

乘法 (a?, b?) · (a?, b?) = (a? · a?, b? · b?)

則 (I × J, +, ·) 構成一個(gè)環(huán)，稱(chēng)為 I 和 J 的直積。

中國剩余定理：設 R 是幺環(huán)， I?, I?, ..., I? 是 R 中 兩兩互素的 理想，則有，

R / ( I? ∩ I? ∩ ... ∩ I? ) ? R / I? × R / I? × ... × R / I?

要證明這個(gè)定理，需要引入，環(huán)同態(tài)基本定理：

對于 從 環(huán) R 到 環(huán) R‘ 的 映射 f: R → R‘，如果對于任意 a, b ∈ R 滿(mǎn)足：

f(a + b) = f(a) + f(b)

f(ab) = f(a)f(b)

我們稱(chēng) f 是 環(huán)同態(tài)，如果 f 還是 雙射，則 稱(chēng) f 是 環(huán)同構，同時(shí)也稱(chēng) R 和 R‘ 同構，記為： R ? R‘。

對于 環(huán)同態(tài) f: R → R‘，定義：

同態(tài)像：im f = {f(r) | ? r ∈ R}；

同態(tài)核：ker f = {r | ? r ∈ R, f(r) = 0}；

環(huán)同態(tài)基本定理：對于 環(huán)同態(tài) f: R → R‘，則有：

ker f ? im f

為了便于理解，見(jiàn)下圖：

（由于篇幅有限，環(huán)同態(tài)基本定理的證明略，有興趣的朋友，請參考《抽象代數》。）

接下來(lái)，我們證明中國剩余定理：

可以構造 映射，

f: R → R / I? × R / I? × ... × R / I?

s ? (s + I?, s + I?, ..., s + I?)

則，對于任意 a, b ∈ R ，有：

f(a + b) = ((a + b) + I?, (a + b) + I?, ..., (a + b) + I?) = ((a + I?) + (b + I?), (a + I?) + (b + I?), ..., (a + I?) + (b + I?)) = (a + I?, a + I?, ..., a + I?) + (b + I?, b + I?, ..., b + I?) = f(a) + f(b)；

f(ab) = (ab + I?, ab + I?, ..., ab + I?) = ((a + I?)(b + I?), (a + I?)(b + I?), ..., (a + I?)(b + I?)) = (a + I?, a + I?, ..., a + I?)(b + I?, b + I?, ..., b + I?) = f(a)f(b)；

因此 f 是 環(huán)同構。

首先，( I?, I?, ..., I?) 是 R / I? × R / I? × ... × R / I? 的零元，而，對于 x ∈ I? ∩ I? ∩ ... ∩ I?，有 x ∈ I?， I?， ...， I? ，進(jìn)而有，

f(x) = (x + I?, x + I?, ..., x + I?) = ( I?, I?, ..., I?)

故，

ker f = I? ∩ I? ∩ ... ∩ I?

然后，由于 任意 I? (i = 1, 2, ..., r) 與 I?, ..., I???, I???, ..., I? 都互素，則 根據 ⑶ 有 I? 與 M?' = I? ∩ ... ∩ I??? ∩ I??? ∩ ... ∩ I? 互素，于是根據 ⑵ ，則存在 a? ∈ I?， x? ∈ M?'，使得 a? + x? = 1，進(jìn)而 x? = 1 - a?，于是：

f(x?) = (x? + I?, ..., x? + I? , ..., x? + I?) = (x? + I?, ..., 1 - a + I? , ..., x? + I?)

因為 x? ∈ M?' 所以 x? ∈ I?, ..., I???, I??? ,..., I?，因為 a? ∈ I?，所以 - a? ∈ I?，故：

f(x?) = (I?, ..., 1 + I? , ..., I?) = (0 + I?, ..., 1 + I? , ..., 0 + I?)

進(jìn)而對于 任意 s? ∈ R，有：

f(s?x?) = f(s?)f(x?) = (s? + I?, ..., s? + I? , ..., s? + I?)( (I?, ..., 1 + I? , ..., I?)) = ((s? + I?)(0 + I?), ..., (s? + I?)(1 + I?) , (s? + I?)(0 + I?)) = ((s?0) + I?, ..., (s?1) + I?, ..., (s?0) + I?) = (I?, ..., s? + I?, ..., I?)

于是，對于任意 (s? + I?, s? + I?, ..., s? + I?) ∈ R / I? × R / I? × ... × R / I?，都有：

x = s?x? + s?x? + ... + s?x?

則得：

f(x) = f(s?x? + s?x? + ... + s?x?) = f(s?x?) + f(s?x?) + ... + f(s?x?) = (s? + I?, I?, ..., I?) + (I?, s? + I?, ..., I?) + ... + (I?, I?, ..., s? + I?) = (s? + I? + ... + I?, s? + I? + ... + I?, ..., s? + I? + ... + I? ) = (s? + I?, s? + I?, ..., s? + I?)

故，f 是滿(mǎn)足射，即 im f = R / I? × R / I? × ... × R / I?。

最后，根據環(huán)同態(tài)基本定理，有：

R / (I? ∩ I? ∩ ... ∩ I?) = R / ker f ? im f = R / I? × R / I? × ... × R / I?

如果 R 是交換幺環(huán)，若 理想 I 和 J 互素，根據 ⑵ 則必然存在 a ∈ I，b ∈ J 使得 a + b = 1，于是 對于 任意 s ∈ I ∩ J，有：

s = s1 = s(a + b) = sa + sb，

由于 s ∈ I ∩ J ∈ J， a ∈ I，故 as ∈ IJ，而 R 是 交換環(huán)，故 sa = as ∈ IJ，又由于 s ∈ I ∩ J ∈ I，b ∈ J ，故 sb ∈ IJ，于是 sa + sb ∈ IJ，即，

s ∈ IJ

這就證明了， I ∩ J ? IJ。而前面已經(jīng)證明了， IJ ? I ∩ J，因此得到：IJ = I ∩ J。

于是 在 交換幺環(huán) R 下，環(huán)同態(tài)基本定理 可寫(xiě)為：

R / (I? I? ... I?) ? R / I? × R / I? × ... × R / I?

在 主理想整環(huán) D 中， 如果 主理想 (m) 和 (n) 互素，則 根據 ⑵ 必然存在 a ∈ (m) 與 b ∈ (n) 使得 a + b = 1，又因為 D 是整環(huán)，所以 D 是交換幺環(huán)，根據 ⑧ 有：

(m) = { ∑_{有限} s_im | s_i ∈ D } = Dm = mD

于是，對于 a ∈ (m) = mD，必然存在 u ∈ D 使得 a = mu；同理，對于 b ∈ (n) = nD，必然存在 v ∈ D 使得 b = nv。于是有：

mu + nv = 1

這和《初等數論》中 m 和 v 互素的性質(zhì)完全相同。于是 在 主理想整環(huán) 中 (m) 和 (n) 互素 等價(jià)于 m 和 n 互素。

在 主理想整環(huán) D 中，如果 m?, m?, ..., m? 兩兩互素，則 主理想 (m?), (m?), ..., (m?) 兩兩互素，于是 根據 中國剩余定理，有：

D / (m?)(m?)...(m?) ? D / (m?) × D / (m?) × ... × D / (m?) = D / m?D × D / m?D × ... × D / m?D

令 M = m?m?...m? ，則 (m?)(m?)...(m?) = (m?m?...m?) = (M) = MD，于是上式寫(xiě)為：

D / MD ? D / m?D × D / m?D × ... × D / m?D

對應 環(huán)同構為：

φ : D / MD → D / m?D × D / m?D × ... × D / m?D

s + MD ? (s + m?D, s + m?D, ..., s? + m?D)

對于 任意 m? (i = 1, 2, ..., r)，令 M? = M / m? = m?...m???m???...m? 則 m? 和 M? 互素，于是 存在 a? ∈ (m?) = m?D, x? ∈ (M?) = M?D 使得 a? + x? = 1，根據上面證明 中國剩余定理 的經(jīng)驗，可知 φ 逆映射為：

φ?1 : D / m?D × D / m?D × ... × D / m?D → D / MD

(s? + m?D, s? + m?D, ..., s? + m?D) ? (s?x? + s?x? + ... + s?x?) + MD

因為 x? ∈ (M?) 故可以令 x? = M?M??1, M??1 ∈ D (i = 1, 2, ..., r)，于是得到：

φ?1(s? + m?D, s? + m?D, ..., s? + m?D) = (s?M?M??1 + s?M?M??1+ ... + s?M?M??1) + MD ⑶

另外，a? + M?M??1 = 1，于是有：

M?M??1 = 1 - a?

進(jìn)而，

M?M??1 + m?D = (1 - a?) + m?D = 1 + m?D + (- a?) + m?D,

因為 a? ∈ m?D，所以 - a? ∈ m?D，故 (- a?) + m?D = m?D，于是得到條件：

M?M??1 + m?D = 1 + m?D ⑶'

在 ⑶ 中，s? + m?D 中的元素滿(mǎn)足，同余方程：

x? = s? (mod m?)

而 條件 ⑶' 就相當于：

M?M??1 = 1 (mod m?)

因此 ⑶ 就等價(jià)于 《初等數論》中介紹的 中國剩余定理。

（關(guān)于 《初等數論》里的 中國剩余定理，可以參考 我對 問(wèn)題：“韓信點(diǎn)兵問(wèn)題公式或口訣是什么？” 的回答。）

（本人數學(xué)水平有限，出錯在所難免，歡迎各位老師批評指正。）

壓力開(kāi)關(guān)ah和al代表什么？

Ah應該是設置上限的液位高度。Al是設置下限的液位高度。這是其表面英語(yǔ)字母的縮寫(xiě)。

壓力開(kāi)關(guān)是一種壓力傳感器，作用是將系統的壓力信號轉化為電信號。

報警閥開(kāi)啟，報警管道充水，壓力開(kāi)關(guān)受到水壓的作用后接通電觸點(diǎn)，輸出報警閥開(kāi)啟和供水泵啟動(dòng)的信號，報警閥關(guān)閉時(shí)電觸點(diǎn)斷開(kāi)。