什么是虛數?它和實(shí)數有什么區別？

虛數：在數學(xué)里,將平方是負數的數定義為純虛數。

區別：實(shí)數是有理數和無(wú)理數的總稱(chēng).其中無(wú)理數就是無(wú)限不循環(huán)小數,有理數就包括整數和分數。

什么是實(shí)數和虛數，什么是虛數?它和實(shí)數有什么區別？

1、有理數和無(wú)理數統稱(chēng)為實(shí)數. 2、實(shí)數和數軸上的點(diǎn)是一一對應的 在數軸上，右邊的點(diǎn)表示的數比左邊的點(diǎn)表示的數大． 3、在實(shí)數范圍內，相反數、倒數、絕對值的意義與有理數范圍的相反數、倒數、絕對值的意義完全一樣． 4、實(shí)數可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方等運算，而且有理數的運算法則與運算律對實(shí)數仍然適用． 實(shí)數理論 千百年來(lái)，數學(xué)愛(ài)們都在為整個(gè)數學(xué)尋找一個(gè)可靠的邏輯基礎而不懈努力，然而分析的算術(shù)化，是以實(shí)數為基礎的。

2、不弄清實(shí)數的本質(zhì),不給實(shí)數以明確的定義、建立實(shí)數大小、運算等理論，連續函數的性質(zhì)就無(wú)法徹底弄清，甚至連柯西收斂準則的充分性也無(wú)法嚴格證明。

3、 這就迫使數學(xué)家們加快建立數學(xué)理論的步伐。

4、 實(shí)數理論的核心問(wèn)題是對無(wú)理數的認識，早在19世紀前期，柯西就已感到定義無(wú)理數的重要性。

5、他在《分析教程》中，把無(wú)理數定義為收斂的有理數列的極限，設{yn}是一列有理數，如果存在一個(gè)數y,yn-->y,那么y就是一個(gè)無(wú)理數。

6、 這個(gè)定義存在邏輯上的毛病。

7、因為有理數序列{yn}不收斂于無(wú)理數（即y為有理數），則定義不出無(wú)理數；不收斂于有理數，那得不承認y是無(wú)理數才行，才能定義它是無(wú)是數，這就犯了循環(huán)定義的錯誤。

8、 19世紀60年代末以后，出現了幾種不同的無(wú)理數定義，分別出自維爾期特拉斯、梅雷、康托和戴德金等人之手，但不論他們定義實(shí)數的具體方法有何不同，都符合以下三個(gè)條件：第一，把不理數當作已知，從有理數出發(fā)定義無(wú)理數；第二，所定義的褸的性質(zhì)及其運算律，與有理數所具有的一三，這樣定義的實(shí)數是完備的，即在極限運算下不會(huì )再出現新數。

9、為了避免柯西理數定義中的錯誤，維爾斯特拉斯堅持了他的表態(tài)觀(guān)點(diǎn)，曾引入"復合數"概念。

10、并用復合數定義有理數。

11、如3（2/3）由3α和2β組成，其中α=1是主要單位，元素β=1/3。

12、一個(gè)數已知它由什么元素組成，以及每個(gè)元素出現的次數時(shí)，就完全確定了，維爾斯特拉斯繼而定義無(wú)理數如√2定義為1α，4β1γ----康托與梅雷定義的無(wú)理數基本相同，以有理數為出發(fā)點(diǎn)引進(jìn)新數類(lèi)----實(shí)數。

13、該數類(lèi)包括有理數和無(wú)理數。

14、在褸理論建樹(shù)中，戴德金的實(shí)數理論是最完整的。

15、人用有理數分割來(lái)定義實(shí)數這一思想來(lái)源于對直線(xiàn)連續性的考慮。

16、人和康托大致同時(shí)提出了實(shí)數集與直線(xiàn)上的點(diǎn)一一對應假設。

17、這一假設后來(lái)稱(chēng)為“康托-戴德金"公理，他想，直線(xiàn)上的有理點(diǎn)是不連續的，必然由無(wú)量數填補空位，才能使直線(xiàn)成為連續。

18、如何才能把這些補空位的無(wú)理數表示出來(lái)？戴德金用全體有理數的一個(gè)分割，來(lái)表示一個(gè)無(wú)理數。

19、 上面所說(shuō)的幾種無(wú)理數定義，都把有理數當作已知的，因為任何一個(gè)有理數，都可以寫(xiě)成兩個(gè)整數之比，因此問(wèn)題歸結為整數。

20、那么對于整數需不需要再下定義呢？對這個(gè)問(wèn)題也產(chǎn)生了分歧，維爾斯特拉斯就認為沒(méi)必要，有理數邏輯地歸為一對整數，對整數的邏輯無(wú)須做進(jìn)一步研究。

21、 戴德金則不然，他在《數的性質(zhì)與意義》一書(shū)中，利用集合論思想給出了一個(gè)整數理論，雖因過(guò)于復雜未被采用，卻給皮亞諾以直接啟示。

22、 1889年，意大利數學(xué)家皮亞諾在他的《算術(shù)原理新方法》一書(shū)中，用公理方法給出了自然數理論，從而完成了整個(gè)數系邏輯化工作。

23、 皮亞諾出生于都靈，曾任都靈大學(xué)講師和教授，是一位數理邏輯學(xué)家。

24、他不像邏輯主義者那樣，主張把數學(xué)建立在邏輯上，而是主張把邏輯作為數學(xué)工具。

25、 皮亞諾在《算術(shù)原理方法》一書(shū)中，使用了一系列符號，如用∈，NO和a+分別表示屬于、包含、自然數類(lèi)和a的下一個(gè)自然數等；給出了四個(gè)不加定義的原始概念：集合，自然數，后繼數和屬于；還提出了自然數的五個(gè)公理： 1）1是自然數； 2）1不是任何自然數的后繼數； 3）每個(gè)自然數a都不一個(gè)后繼數a+; 4）如果a+=b+,則a=b; 5）如果s是一個(gè)含有1的自然數集合，且當s含有a時(shí)，也含有a+，則s含有全部自然數。

26、這個(gè)公理是數學(xué)歸納法的邏輯基礎。

27、 接著(zhù)，皮亞諾根據自然數定義整數：設a,b為自然數。

28、則數對（a,)即"a-b"定義整數。

29、當a>b,a/span>有了整數概念，再通過(guò)有序對定義有理數：若n,m為整數，則有序對（n,m)(m<>0)即n/m定義一個(gè)有理數。

30、 這樣，皮亞諾應用數學(xué)符號和公理方法，在自然數公理的基礎上，簡(jiǎn)明扼要地建立起自然數系、整數系和有理數系。

31、當然用公理的、邏輯的方法構造出來(lái)的數系，使一數學(xué)家感到很不自然。

32、他們認為這是將本一清楚的概念"做了不可理解的推廣，然而，實(shí)數理論的建立，譜寫(xiě)了19世紀數學(xué)史上輝煌的一章。

什么是虛數?它和實(shí)數有什么區別？

在數學(xué)中，虛數就是形如a+b*i的數，其中a，b是實(shí)數，且b≠0,i2 = - 1。將平方是負數的數定義為純虛數，所有的虛數都是復數，這種數有一個(gè)專(zhuān)門(mén)的符號“daoi”(imaginary)，它稱(chēng)為虛數單位，定義為i^2=-1。

虛數這個(gè)名詞是17世紀著(zhù)名數學(xué)家笛卡爾創(chuàng )立，因為當時(shí)的觀(guān)念認為這是真實(shí)不存在的數字。后來(lái)發(fā)現虛數a+b*i的實(shí)部a可對應平面上的橫軸，虛部b與對應平面上的縱軸，這樣虛數a+b*i可與平面內的點(diǎn)(a,b)對應。

在數學(xué)中：實(shí)數其實(shí)就是有理數和無(wú)理數的總稱(chēng)。實(shí)數可以分為有理數和無(wú)理數兩類(lèi)或代數數和超越數兩類(lèi)。

它們的區別就是：實(shí)數是有理數和無(wú)理數的總稱(chēng).其中無(wú)理數就是無(wú)限不循環(huán)小數,有理數就包括整數和分數。在學(xué)習數學(xué)的過(guò)程中一定要搞清楚，不要弄混了。

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